Méthodes et langages orientés objet pour la physique

Thèmes et références de leur domaine

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Descriptions, liens et références par domaine

Références pour chaque domaine :

Domaine : Astrophysique
Référence : Astrophysique - Bases
Contenu : Pdf Astronomie / Astrophysique : http://chamilo2.grenet.fr/inp/courses/PHELMAPNS/document/Module_Ouverture/Physique_et_Nanoscience_de_Demain/PNS-Astrophysique_-part_1-.pdf Pdf d'introduction à l'astrophysique : http://perso.utinam.cnrs.fr/~jmontill/Docs/M1_Astro_Galaxies_et_Cosmologie.pdf Pdf des bases physiques de l'astrophysique : https://obswww.unige.ch/Recherche/evol/material/bases.pdf

Domaine : Electromagnétisme
Référence : Electromagnétisme - Equations de Maxwell
Contenu : Vide (ρ = 0 et j ⃗ = 0 ⃗) – équations de Maxwell ... – Gauss : div (E ⃗ ) = 0 : (MG_0), – Faraday : rot ⃗ E ⃗ = – ∂B ⃗/∂t : (MF), – Thomson, densité de flux magnétique : div B ⃗ = 0 : (MD), – Ampère : rot ⃗ B ⃗ = µ_0.ε_0 ∂E ⃗/∂t : (MA_0). (MG_0), (MF) et (MA_0) → ΔE ⃗ – (1 / c²).∂²E ⃗/∂t² = 0 ⃗ : (d’Alembert-em) → Relation de dispersion d’une OPPM électromagnétique dans le vide : k² = ω² / c². Conducteurs – équations de Maxwell (M) ... – Gauss : div E ⃗ = ρ / ε_0 : (MG), – Faraday : rot ⃗ E ⃗ = – ∂B ⃗/∂t : (MF), – Thomson, densité de flux magnétique : div B ⃗ = 0 : (MD), – Ampère : rot ⃗ B ⃗ = µ_0.(j ⃗ + ε_0.(∂E ⃗/∂t)) : (MA). (M) → ΔE ⃗ – (1 / c²).∂²E ⃗/∂t² = µ_0.∂j ⃗/∂t + ∇ ⃗ ρ / ε_0 et ΔB ⃗ – (1 / c²).∂²B ⃗/∂t² = – µ_0.rot ⃗ j ⃗ . ARQS (Approximation des Régimes Quasi-Stationnaires) : Pour une distribution de charges de volume V observée en M tel que ∀P ∈ V , r = PM << λ = cT, div j ⃗ = 0 et les équations de Maxwell deviennent : – Gauss : div E ⃗ = ρ / ε_0 : (MG_ARQS), – Faraday : rot ⃗ E ⃗ = – ∂B ⃗/∂t : (MF), – Thomson, densité de flux magnétique : div B ⃗ = 0 : (MD), – Ampère : rot ⃗ B ⃗ = µ_0.j ⃗ : (MA_ARQS) car ‖j_D ⃗ ‖ << ‖j ⃗ ‖. (MG_ARQS) et (E ⃗) → ∆V + ρ / ε_0 = 0 → V = (1 / 4πε_0).∭(ρ(P,t) / PM).dV : (V_ARQS), (MA_ARQS) et (B ⃗) → ∆A ⃗ + µ_0.j ⃗ = 0 ⃗ → A ⃗ = (µ_0 / 4π).∭(j ⃗(P,t) / PM)dV : (A ⃗_ARQS). Champ en régime variable (retardés) d’une distribution : Avec la jauge de Lorentz, B ⃗ (M,t) = (µ_0 / 4π).∭rot ⃗_M (j ⃗(P,t - PM / c) / PM)dV = (µ_0 / 4π).∭(j ⃗(P,t - PM / c) × u_r ⃗ ) / PM²).dV.

Domaine : Généralités physiques
Référence : Analyse et transmission de signaux, fichiers
Contenu : Analyse fréquencielle : Théorème de Fourier : pour un signal périodique de période T, ω = 2π / T. s(t) = s_moy(t) + ∑_(n=1 à +∞) a_n.cos(n.ωt)+b_n.sin(nωt) = s_moy(t) + ∑_(n=1 à +∞) s_n.sin(n.ωt + φ_n), avec s_moy(t) : moyenne du signal s(t), s_n.sin(n.ωt + φ_n) est l’harmonique de rang n du signal s(t), s_1.sin(ωt + φ_1), l’harmonique de rang 1 du signal s(t), est son fondamental. Taux de distorsion harmonique du signal s(t) : TDH = √(∑_(n=2 à +∞) s_n^2 ) ⁄ s_1 : (TDH). Numérisation d’un signal analogique (trois étapes) : . Échantillonnage : prélèvement du signal analogique par le convertisseur tous les T_e. La fréquence d’échantillonnage est f_e = 1 / T_e . Théorème de Shannon : pas de pertes d’information pour f_e > 2.f_max, où f_max est la fréquence maximale du signal échantillonné. . Quantification : attribution de la valeur de l’échantillon avec celle la plus proche permise par la résolution du convertisseur. Plus petite valeur du signal numérisé : pas de quantification. . Codage : celui de la valeur permise en nombre binaire. Atténuation (de puissance) dans une fibre optique sur une longueur L : Coefficient a (en m^-1) tel que P_reçue = P_émise × exp(– a × L), (L en m) soit a = (1 ⁄ L).ln(P_émise ⁄ P_reçue). Coefficient A (en dB.km^–1) tel que A = (10 ⁄ L).log_10(P_émise ⁄ P_reçue), (L en km) → A = 4,343 × a. Fichiers vidéos : . Photos : Poids_photo = N_pixels × P_pixel. Exemple : pour une photo d’un appareil de 12 Mpixel en codage RVB, Poids photo = 12.10^6 × 3 = 36 Mo (mégaoctets). . Codage noir et blanc : chaque pixel est noir (0) ou bien blanc (1) → nécessite 1 bit / pixel. . Codage en niveau de gris : codage de chaque pixel sur 8 bits = 1 octet. → 256 niveaux de gris. . Codage couleurs méthode RVB 24 bits : sur 3 octets (3 × 8 bits) où chacun désigne l’intensité d’une des 3 couleurs primaires : R, V, B. → 28 × 28 × 28 = 16,8.10^6 couleurs. . Transmission par internet, débit binaire : DB (Mo / s). → Durée de transmission d’un fichier : ∆t = Poids_fichier ⁄ DB.

Domaine : Gravitations
Référence : Lois de Newton
Contenu : 1ère loi (principe d'inertie) : un système massique, ponctuel et isolé, dans tout référentiel galiléen est immobile ou bien animé d'un mouvement rectiligne et uniforme. 2ème loi (principe fondamental de la dynamique, PFD) : pour un système massique et ponctuel dans tout référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures qui s'exercent sur lui sont égales à la dérivée temporelle de son vecteur quantité de mouvement. 3ème loi (principe des actions réciproques) : pour un système (1) exerçant une force F_(1 -> 2) sur un système (2), ce dernier exerce également une force F_(2 -> 1) sur le système (1) de même valeur, même direction et sens opposé à F_(1 -> 2).

Domaine : Gravitations
Référence : Equation d'Einstein - Relativité générale
Contenu : Equation dynamique exprimant la relation (équivalence) entre matière - énergie (concepts physiques) et géométrie (concepts mathématiques) de l'espace-temps. Ses composants sont des tenseurs 4 x 4 symétriques (car dim (espace - temps) = 4). Tenseur d'Einstein : G_μν = R_μν − (1/2)R.g_μν. En unité géométrique, G = c = 1 et sans constante cosmologique, l'équation d'Einstein s'écrit alors : G_μν + Λ.g_μν = 8πT_μν. A gauche de l'équation, les composants géométriques sont le tenseur de la métrique choisie, g_μν, le tenseur de courbure de l'espace-temps Rμν et le terme pour une constante cosmologique non nulle, Λ.g_μν, qui pourrait expliquer le comportement d'expansion de l'Univers. A droite de l'équation, les composants physiques sont représentés par le tenseur masse-énergie,T_μν, de l'espace-temps. * Action : S = – m∫(de λ1 à λ2) √(g_μν[x(λ)] x^μ.x^ν)dλ. * Extrémalisation de S : δS = 0. * → Géodésique d’une particule libre : x^μ + Γ_(αβ)^μ.x^α.x^β = 0. * Transformations spéciales de Lorentz : Γ_(αβ)^ν(x) = (1/2).g^μν(g_(αμ, β)(x) + g_(βμ, α)(x) + g_(αβ, μ)(x)). * Tenseurs de courbure : (∇_μ∇_ν - ∇_ν∇_μ)A^β = R_(βμν)^α.A^β. R_βμν^α = – Γ_(βμ,ν)^α + Γ_(βν,μ)^α – Γ_(γν)^α.Γ_(βμ)^γ + Γ_(γμ)^α.Γ_(βν)^γ. R_αβμν = g_αλ.R_βμν^λ. * Tenseur de Ricci : R_μν = R_(μρν)^ρ = g^ρσ.R_αμρν. * Courbure scalaire : R = g^μν R_μν . * Tenseur d’énergie-impulsion : S_μν = T_μν – (1/2).g_μν.T. * Pour un fluide stellaire, GP de densité ρ et pression P : T_μν = P.g_μν + (P + ρ).u_μ.u_ν , puis T = T_λ^λ = g^σλ.T_λσ = 3P – ρ. → S_μν = (1/2).(ρ - P).g_μν + (P + ρ).u_μ.u_ν. * Identités de Bianchi : R_(μνρσ ; τ) + R_(μντρ ; σ) + R_(μνστ ; ρ) = 0. * Equation d’Einstein : R_μν – (1/2).g_μν R + Λ.g_μν = (G / (8πc^2)).T_μν. * Sphère de rayon r : g_θθ = r^2, g_φφ = r^2 sin^2(θ), √g = r^2 sin(⁡θ). → R = g^μν R_μν = = g^μν (∂_ν Γ_μ - ∂_λ Γ_(μν)^λ ) + (ΓΓ), avec (ΓΓ) = 0. → R = g^θθ ∂_θ(Γ_θ) – g^φφ ∂_θ(Γ_φφ^θ) = – 2 ⁄ r^2. * Champ de gravitation isotrope : dτ^2 = B(ρ,t) dt^2 + D(t,ρ)dtdρ – A(ρ,t) dρ^2 – C²(ρ,t) dΩ^2 * Forme standard : . Variable radiale : C(ρ,t) = r . Distance radiale, r : rayon de courbure de la sphère de rayon ρ. . D(t,ρ) = 0. → dτ^2 = B(r,t) dt^2 – A(r,t) dr^2 – r^2 (dθ^2 + sin^2(θ).dφ^2 ). B(r,t) = A(r,t) → 1 avec le temps propre, t, d’un espace de Minkowski en coordonnées sphériques. g = |dét(g_μν)| = r^4 sin^2 θ A(r,t) B(r,t). * Métrique de Schwarzchild (avec A = A(r) et B = B(r)) : T_μν = 0 → R_μν = 0 → R_rr = R_θθ = R_φφ = R_tt = 0. R_rr = R_tt = 0 → AB = 1 car pour r → ∞ : métrique de Minkowski (A → 1, B → 1) R_θθ = 0 → – 1 + 1 ⁄ A + (r ⁄ 2A)(B' ⁄ B - A' ⁄ A) = 0 → B = 1 + B_o ⁄ r, avec la constante B_o telle que g_00 = – B = – g_tt = 1 – 2GM ⁄ (c^2.r). → dτ^2 = (1 - r_g ⁄ r) dt^2 – (1 - r_g ⁄ r)^(-1).dr^2 – r^2.dΩ^2, avec le rayon de Schwarzchild, r_g = 2GM ⁄ c^2.

Domaine : Mécanique
Référence : Mécanique - Bases
Contenu : Principe fondamental de la dynamique. Pour un système ponctuel de masse m constante, soumis à des forces extérieures f_ext ⃗ : dp ⃗/dt = m.dv ⃗/dt = ma ⃗ = ∑ f_ext ⃗ : (PFD). Pour un système ≈ ponctuel de masse m non constante, soumis à des forces extérieures fext ⃗ : dp ⃗/dt = m.dv ⃗/dt + (dm/dt).v ⃗ = ∑ f_ext ⃗ : (PFD2). Pour R, référentiel non galiléen, ma ⃗_/R = f ⃗_ie + f ⃗_ic + ∑ f_ext ⃗ : (PFD3), où les forces d’inerties d’entrainement : f ⃗_ie = – m.a ⃗_e et de Coriolis : f ⃗_ic = – m.a ⃗_c sont déterminées par rapport à un référentiel galilén R_0 . Forces usuelles : poids P ⃗ = – m.g.u_z ⃗ , force gravitationnelle f ⃗_(1 → 2) = – (G.m_1.m_2) / r^2).u_r_(12) ⃗. Force électromagnétique f ⃗_em = q(E ⃗ + v ⃗ × B ⃗), coulombienne f ⃗_(1 → 2) = (q_1.q_2 / 4πε0.r^2)(u_r_(12)) ⃗ Loi de Hooke (élasticité des matériaux) : F ⃗ = – kr ⃗ (linéaire). Théorème de l’énergie cinétique pour un système fermé dans un référentiel R : dE_c/dt = P_int + P_ext = P_conservatives + P_non-conservatives, ΔE_c = W_int + W_ext. Théorème de l’énergie mécanique pour un système fermé dans un référentiel R : E_m = E_c + E_p , dE_p/dt = – P_conservatives, dE_m/dt = P_non conservatives. → E_m = cste pour un système conservatif. Théorème du moment cinétique en O fixe : dσ_O ⃗/dt = M ⃗_(f ⃗_ext)(O).

Domaine : Mécanique
Référence : Mécanique du solide - Bases
Contenu : Pour un solide Σ, O un point fixe et (Δ) un axe fixe dans un référentiel R galiléen. Dérivée de AB ⃗ pour A, B ϵ Σ : AB ⃗^2 = cste → AB ⃗ ⊥ dAB ⃗/dt → ∃ Ω ⃗ / dAB ⃗/dt = Ω ⃗ × AB ⃗ (produit vectoriel) → Relation pour Σ en rotation Ω ⃗ dans R : v ⃗R(B) = v ⃗R(A) + Ω ⃗ × AB ⃗. Moments cinétiques de Σ : . Par rapport à un point O de Σ : σ_O = ∭dm.r^2.Ω → σ_O = I_O.Ω, I_O = ∭dm.r² . Par rapport à (Δ), axe de rotation de Σ, σ_Δ = ∭dm(r^2.Ω) → σ_Δ = I_Δ.Ω , où I_Δ = ∭dm.r_Δ^2. Théorème du moment cinétique en O : M ⃗_O = d(σ_O ⃗/dt (car O est fixe.) Théorème du moment cinétique en G : M ⃗_G = dσ_G ⃗/dt (car v ⃗(G) × P ⃗ = 0 ⃗.) Théorème du moment cinétique / (Δ) : dσ ⃗/dt(/(Δ)) = M ⃗_(ext/(Δ)) Théorème d’Huygens : I_Δ = I_(∆_G) + m.d(∆ - ∆_G)^2, où (Δ_G) axe // (Δ) passant par G.

Domaine : Méthodologies
Référence : Sites des organisations et méthodologie en informatique
Contenu : Site Agile : http://jerome.lenaou.free.fr/wp-content/uploads/Gestion_de_projet.pdf Site cycle en V : https://fr.wikipedia.org/wiki/Cycle_en_V Site MVC : https://www.irif.fr/~carton/Enseignement/InterfacesGraphiques/MasterInfo/Cours/Swing/mvc.html Liens symbolisme, théories et informatique : http://irem.univ-reunion.fr/IMG/pdf/Cours_symbolisme.pdf , https://fr.wikipedia.org/wiki/Informatique_th%C3%A9orique , https://fr.wikipedia.org/wiki/Portail:Informatique_th%C3%A9orique

Domaine : Physique quantique
Référence : Physique quantique - Opérateur évolution
Contenu : En mécanique quantique, un état correspond à une fonction d’onde ψ, solution de l’équation aux valeurs propres du hamiltonien H, Hψ = Eψ : (VPH). Opérateur d’évolution U(t, t_0) d’un système isolé pour des états propres de H, |ψ_n> d’énergie propre, E_n. Alors l'équation de Schrödinger et (VPH) → |ψ(t)> = ∑_n <ψ_n|ψ(t_0)>.exp((-i/ℏ).E_n(t - t_0))|ψ_n>. → |ψ(t)> = ∑_n exp((-i/ℏ).E_n(t - t_0))|ψ_n><ψ_n|ψ(t_0)> = U(t, t_0)|ψ(t_0)>, avec : U(t, t_0) = exp((-i/ℏ).(t - t_0)H) qui vérifie iℏ(dU(t, t_0)/dt) = HU(t, t_0 ). Plus généralement : https://fr.wikipedia.org/wiki/Op%C3%A9rateur_d%27%C3%A9volution

Domaine : Physique quantique
Référence : Physique quantique - Bases
Contenu : En mécanique quantique, un état correspond à une fonction d’onde ψ, solution de l’équation aux valeurs propres du hamiltonien H de valeur propre pour ψ, la valeur de son énergie E, Hψ = Eψ : (VPH). Probabilité d’états (P) : dP / dV = ⟨ψ│ψ⟩ = |ψ|^2 (densité de probabilité) Probabilité de présence d’un système dans un volume V : P = (1/V)∫<ψ^*|ψ>dV. Équation de Schrödinger : -iℏ(∂ψ/∂t) = Hψ : (S) (VPH) est (S) stationnaire. Pour une particule libre de masse m, H = p²/2m et pour une particule de masse m soumise à une interaction de potentiel V, H = p²/2m + V(x, y, z).

Domaine : Physique quantique
Référence : Interaction électrofaible (QED)
Contenu : F^μν = ∂^μ A^ν – ∂^ν A^μ, ∂^λ F^μν + ∂^ν F^λμ + ∂^μ F^νλ = 0, ∂_μ F^μν = J^ν, ∂_μ J^μ = 0, L = (-1)/4 F_μν F^μν – J^μ A_μ, S = ∫L.d^4x. Transformation de jauge avec χ fonction scalaire quelconque : A_μ → A_μ + ∂^μ(χ) = (ϕ + ∂χ/∂t, A ⃗ - ∇ ⃗χ), ∂^μ ∂^ν χ = ∂^ν ∂^μ χ → ∆S = ∫J_μ.∂^μ(χ) d^4x = = ∫∂^μ(J_μ))χ d^4x, Ainsi, ∆S = 0 → ∂^μ J_μ = ∂_μ J^μ = 0. Densité énergétique : T_ν^μ = ∂L/∂(∂_μ(A^λ)) ∂_ν(A^λ) – δ_ν^μ (L). δL = (∂L/∂ϕ)δϕ + ∂L/∂(∂_μ(ϕ)) δ(∂_μ(ϕ)) avec δ(∂_μ(ϕ)) = ∂_μ(δϕ), δL = ∂_μ(∂L/∂(∂_μ(ϕ))∂_ν(ϕ))δa^ν et δL = ∂L/(∂x^μ)δa^ν = δν^μ (∂L/(∂x^μ))δa^ν car δϕ = ∂_μ(ϕ)δa^μ, x^μ → x^μ + δa^μ. ∂_μ(T_ν^μ) = 0 avec T_ν^μ = ∂L/∂(∂_μ(ϕ)) ∂_ν(ϕ) – δ_ν^μ(L). H = T_0^0 = ∂L/∂(ϕ̇ )(ϕ̇ ) – L. Symétries locales et champs de jauge : L = – 1/4 F_μν F^μν + iψ γ^μ ∂_μ(ψ) – mψ . ̅ψ + eψ ̅γ^μ ψA_μ. Électrodynamique scalaire : L = – 1/4 F_μν F^μν + (D_μ(ϕ))^* (D^μ(ϕ)) – m^2ϕ^*ϕ – λ^2(ϕ^*ϕ)^2.

Domaine : Physique quantique
Référence : Interaction forte (QCD)
Contenu : Générateurs de SU(3) : T_a = (1 / 2) λ_a , où λ_a : matrices 3 × 3, hermitiques de Gell-Mann, pour a = 1, 2, ..., 8. [T_a,T_b ] = i.f_abc T_c , {T_a, T_b } = (1 / 2) δ_ab I_3 + d_abc T_c. f_123 = 1, f_147 = – f_156 = f_246 = f_257 = f_345 = – f_367 = 1 / 2 , f_458 = f_678 = √3 / 2 , d_146 = d_157 = – d_247 = d_256 = d_344 = d_355 = – d_366 = – d_277 = 1 / 2, d_118 = d_228 = d_338 = – 2d_448 = – 2d_558 = – 2d_668 = – 2d_778 = – d_888 = 1 / √3 , autres f_abc , d_abc nuls. L = L_G + L_GF + L_FP + L_F, avec : Gluons : L_G = – 1 / 4 G_a^μν G_μν^a , avec G_a^μν = ∂^μ B_a^ν – ∂^ν B_a^μ – gf_abc B_b^μ B_c^ν. Fixe la jauge : L_GF = – 1 / 2ξ (∂^μ B_µ^a )^2 , Fadeev – Popov : L_FP = (∂^μ χ^(i*) ) D_µ^ij χ^j. ∂^λ F^μν + ∂^ν F^λμ + ∂^μ F^νλ = 0, ∂_μ F^μν = J^ν, ∂μ J^μ = 0, L = (-1 / 4) F_μν F^μν – J^μ A_μ, S = ∫Ld^4x. Transformation de jauge avec χ fonction scalaire quelconque : A_μ → A_μ + ∂^μ χ = (ϕ + ∂χ/∂t, A ⃗ - ∇ ⃗χ), ∂^μ ∂^ν χ = ∂^ν ∂^μ χ → ∆S = ∫J_μ ∂^μ(χ) d^4x = = ∫(∂^μ J_μ )χ d^4x. Ainsi, ∆S = 0 → ∂^μ J_μ = ∂_μ J^μ = 0. Densité énergétique : Tν^μ = ∂L/∂(∂_μ(A^λ)) ∂_ν A^λ – δ_ν^μ(L). δL = ∂L/∂ϕ δϕ + ∂L/∂(∂_μ(ϕ)) δ(∂_μ(ϕ)) avec δ(∂_μ(ϕ)) = ∂_μ(δϕ).

Domaine : Physique quantique
Référence : Théorie quantique des champs (TQC)
Contenu : * Quantification d’un champ libre scalaire : L = 1/2 ((∂φ)^2 - m^2 φ^2) → En THQ, φ → ϕ(x ⃗, t) (opérateur d’espace-temps). → H = 1/2 ∫d^3x(π^2 + (∇ ⃗ϕ)^2 + m^2 ϕ^2). Règles de commutation : [ϕ(x ⃗,t),ϕ(y ⃗,t)] = [π(x ⃗,t),π(y ⃗,t)] = 0 et [ϕ(x ⃗,t),π(y ⃗,t)] = iδ^(3)(x - y). → Équation du mouvement d’Heisenberg : (⊡ + m^2)ϕ = 0 : équation de Klein-Gordon. → ϕ(x) = ∑_k (a_k u_k (x) + a_k^† u_k* (x)) , avec u_k (x) = e^(-ikx) / √(2ω_k V) et ω_k = √(k ⃗^2 + m^2). a_k = ∫d^3x u_k*(x)(ω_k.ϕ + iπ), a_k^† = ∫d^3x u_k(x)(ω_k.ϕ - iπ). [a_i, a_j] = [a_i^†, a_j^†] = 0 et [a_i, a_j^†] = δ_ij. Hamiltonien : H = ∑_k (ω_k ⁄ 2)(a_k a_k^† + a_k^† a_k) = ∑_k (ω_k a_k a_k^† + ω_k ⁄ 2). Opérateur moment : P_j = ∫∂_j ϕπ = ∑_k (k_j ⁄ 2)(a_k a_k^† + a_k^† a_k) = ∑_k k_j a_k^† a_k. * Fonctionnelle de champ scalaire : W_0[J] = ∫[dϕ] exp i{∫d^4x L_J}, où la densité de lagrangien avec une source externe J(x) est tel que : L_J = 1/2 ((∂ϕ)^2 - μ^2 ϕ^2) + J_ϕ. → Équation du mouvement : (⊡ + μ^2) ϕ = J avec une solution classique, ϕ_c(x) = – ∫d^4y ∆_F(x - y).J(y), où ∆_F(x - y) est une fonction de Green, propagateur de Feynman pour le champ scalaire dans l’espace des positions : ∆_F(x - y) = ∫d^4k /((2π)^4) e^ik(x - y) /(k^2 - μ^2 + iϵ). Par changement de variables, ϕ(x) = ϕ_c (x) + η(x), W_0[J] = N.exp –(i/2)∫d^4x d^4y J(x).∆_F(x - y)J(y). * Quantification du champ de Dirac : L = ψ ̅(iγ.∂ - m)ψ, π = iψ^†, H = ∫d^3x ψ^†(iγ^0 γ^k ∂_k+m γ^0)ψ. ψ(x) = ∑_(i,j) √(m/(VE_i))(a_(i,j)u_j(p) e^(-ipx) + c_(i,j)v_j(p) e^ipx). ψ ̅(x) = ∑_(i,j) √(m/(VE_i))(a_(i,j)^†(u_j ̅)(p) e^ipx + c_(i,j)^† v_j ̅(p) e^(-ipx)), avec E_i = √(m^2 + p ⃗^2). Hamiltonien : H = ∑_(i,j) E_i(a_(i,j)^† a_(i,j) - c_(i,j)^† c_(i,j)). Avec b_(i,j) = c_(i,j)^†, les règles d’anticommutation sont : b_(i,j)^† b_(k,l) + b_(k,l) b_(i,j)^† = δ_(j,l) δ_(i,k). → H = ∑_(i,j) E_i (a_(i,j)^† a_(i,j) + b_(i,j)^† b_(i,j)) – 2∑_i E_i, puis en définissant l’état du vide, a_(i,j)|0⟩ = b_(i,j)|0⟩ = 0, en soustrayant l’énergie du vide, H = ∑_(i,j) E_i (a_(i,j)^† a_(i,j) + b_(i,j)^† b_(i,j)). {ψ(x ⃗,t),ψ(y ⃗,t)} = {π(x ⃗,t),π(y ⃗,t)} = 0 et {ψ(x ⃗,t),π(y ⃗,t)} = iδ^(3)(x-y)I. Soit : {a_(i,j),a_(k,l)} = {a_(i,j),b_(k,l)} = {a_(i,j)^†,b_(k,l)} = {a_(i,j),b_(k,l)^†} = 0, {a_(i,j),a_(k,l)^†} = {b_(i,j),b_(k,l)^†} = δ_(j,l) δ_(i,k). Opérateur moment : P_k = ∫d^3x ψ^†(-i∂_k)ψ = ∑_(i,j) p_i (a_(i,j)^† a_(i,j) + b_(i,j)^† b_(i,j)). Opérateur charge : Q = ∫d^3x ψ^†ψ = ∑_(i,j) (a_(i,j)^† a_(i,j) - b_(i,j)^† b_(i,j)). * Symétrie continue de transformation infinitésimale : φ → φ' = φ + ϵ^A φ ̃_A. δL = ∂_μ (ϵ^A K_A^μ). δL = (∂L/∂φ - ∂/(∂x^μ) ∂L/∂(∂_μ(φ)))δφ + ∂/(∂x^μ)(∂L/∂(∂_μ(φ)))δφ. → Courant : J_A^μ = ∂L/∂(∂_μ φ) φ ̃_A – K_A^μ → (∂L/∂φ - ∂/(∂x^μ)(∂L/∂(∂_μ φ)))δφ + ϵ^A ∂_μ(J_A^μ) = 0. → ∂_μ(J_A^μ) = 0 (conservation) le long des trajectoires classiques pour des champs résolvant les équations du mouvement (théorème de Noether). La charge sur tout l’espace, Q_A = ∫d^3x J_A^0 se conserve au cours du temps. Théorie de Dirac : L = ψ ̅ (iγ.∂ - m)ψ. Transformation : ψ → ψ' = e^(-iθ)ψ telle que L(ψ ̅^',ψ') = L(ψ ̅ , ψ). Courant : J^μ, charge Q = ∫d^3x ψ ̅ψ. Par anticommutation des champs, [ψ(x ⃗,t),θQ] = θψ(x ⃗,t), [ψ ̅(x ⃗,t),θQ] = ψ ̅(x ⃗,t)θ. θQ est le générateur des transformations ψ → e^(-iθ) ψ et ψ ̅ → e^iθ ψ ̅.

Domaine : Spectroscopies
Référence : Spectroscopie classique, modèle de Bohr
Contenu : . Avec la mécanique classique de l’interaction coulombienne (modèle de Bohr), pour un atome hydrogénoïde (de noyau avec Z protons entouré de Z électrons) : Ayant le moment cinétique des électrons constant (Cf. le mouvement d'un corps massique soumis à une force centrale), on obtient des niveaux d'énergie discrétisés : Pour n entier naturel non nul, E_n = -(Z².E_1) / n^2 , avec E_1 ≈ 13,6 eV. Radiations pour l’atome d’hydrogène de longueurs d’ondes entre les niveaux énergétiques n_1 et n_2 (pour n_1 et n_2 deux entiers naturels distincts et non nuls) : 1 / λ = R_∞ (1 / n_1^2 - 1 / n_2^2 ), différence de niveaux énergétiques correspondants : ∆E = hc / λ où R_∞ : constante de Rydberg, R_∞ = E_1 / hc ≈ 1,097373.10^7 m^–1. On en déduit les longueurs d’ondes théoriques et le domaine spectral des raies : . n_1 = 1, n_2 = 2, 3, 4, ... : séries de Lyman (ultraviolet, « UV ») . n_1 = 2, n_2 = 3, 4, 5, ... : séries de Balmer (domaine visible, optique) . n_1 = 3, n_2 = 4, 5, 6, ... : séries de Paschen (infrarouge, « IR ») . n_1 = 4, n_2 = 5, 6, 7, ... : séries de Bracket (infrarouge, « IR »).

Domaine : Spectroscopies
Référence : Spectroscopie quantique des atomes hydrogénoïdes
Contenu : En mécanique quantique, un état de l’atome hydrogène correspond à une fonction d’onde ψ , solution de l’équation aux valeurs propres du hamiltonien H (Hψ = Eψ) : (((-ℏ^2) / (2µ)).∆_r - q^2 / r)ψ = Eψ , où q² = e^2 / (4πε_0) En coordonnées sphériques (r,θ,φ), ∆_r = ∂²/∂r² + (2/r)∂/∂r – L^2/(ℏ^2.r^2 ), où L est l’opérateur moment cinétique qui est tel que : L^2 = -ℏ^2(∂²/∂θ² + cotan(θ).∂/∂θ + sin^(-2)(θ).∂²/∂φ²). On obtient alors les fonctions d’onde des états quantiques de l’atome d’hydrogène en signifiant, du fait de l’expression et des symétries du hamiltonien H, leur discrétisation : ψ_(n,l,m) (r, θ, φ) = R_(n,l)(r).Y_l,m(θ, φ), avec Y_(l,m)(θ, φ) = T_l(θ).F_m(φ), où n : entiers strictement positifs, l = 0, 1, ..., n – 1, m = – l, – l + 1, ..., 0, 1, l – 1, l et ψ_(n,l,m) de norme 1 dans l’espace des fonctions de carré sommable (d'après définition de la probabilité de présence de l’électron). On remarque alors que les niveaux énergétiques des états liés sont identiques à ceux obtenus avec le modèle de Bohr : R_∞ ⁄ n^2.

Domaine : Technologies
Référence : CAN - CNA
Contenu : Un Convertisseur Analogique – Numérique (CAN) transforme une valeur réelle d’un signal d’entrée analogique (V_e) en un nombre entier. La précision (entre deux nombres entiers successifs obtenus) s’évalue en bits. ∃ un temps de conversion, entre l’entrée du signal et le nombre disponible dans le bus de sortie. Il génère également des erreurs d’offset (décalage du zéro), de gain ou de linéarité. A l’inverse, un Convertisseur Numérique – Analogique (CNA) transforme un signal (information) binaire N en un signal analogique A. Exemple : N = (a_(n-1), a_(n-2), ..., a_k, ..., a_2, a_1, a_0), q : quantum de base → A = q × (a_(n-1) × 2^(n-1) + ... + a_k × 2^k + ... + a_2 × 2^2 + a_1 × 2^1 + a_0 × 2^0). a_(n-1) : bit de poids le plus fort (MSB), a_0 : bit de poids le plus faible (LSB).

Domaine : Thermodynamique
Référence : Loi de Joule
Contenu : dU = Cv.dT, dH = Cp.dT.

Domaine : Thermodynamique
Référence : Loi des gaz parfaits
Contenu : PV = n.R.T.

Domaine : Thermodynamique
Référence : Premier principe
Contenu : U et H = U + PV sont des fonctions d'état et dU = delta Q + delta W.

Domaine : Thermodynamique
Référence : Deuxième principe
Contenu : Entropie S extensive et non conservative : S = S_échangée + S_produite est une fonction d'état.

Domaine : Thermodynamique
Référence : Thermodynamique générale
Contenu : Cours.

Domaine : Thermodynamique
Référence : Cycles et machines thermiques
Contenu : Cycle thermodynamique (évolution d'un système état après état et retour à l'état initial pour le dernier) (Notations : c = chaud, f = froid) : Théorème de Kelvin : il n’éxiste pas de moteurs cycliques monothermes. Théorème de Clausius : aucun système décrivant une évolution cyclique ne peut réaliser un transfert thermique parfait d’une source froide à une source chaude. Inégalité de Clausius : Deuxième principe → Q_c / T_c + Q_f / T_f ≤ 0 Égalité de Clausius : Q_c / T_c + Q_f / T_f = 0 (cycle réversible) Premier principe → Δ_(cycle)U = 0 → W = – Q_c – Q_f. Exemples de machines dithermes : Moteur - Carnot, (12) et (34) : isothermes et (23) et (41) : adiabatiques réversibles. Gaz Parfait (GP) avec T_c = T_1 = T_2 , T_f = T_3 = T_4, Q_c = Q_(12) > 0 (chaleur reçue), Q_f = Q_(34) < 0 (chaleur fournie), W < 0 (travail fourni). (23) et (41) adiabatiques → Q_(23) = Q_(41) = 0. Cycle → W = – Q_c – Q_f , avec Q_c = Q_(12) = nRT_c . ln (V_2 / V_1) , Q_f = Q_(34) = nRT_f.ln (V_4 / V_3). Lois de Laplace → (V_4 / V_1 )^(γ-1)= T_f / T_c , (V_2 / V_3)^(γ-1)= T_c / T_f → ln (V_2 / V_1) + ln(V_4 / V_3) = 0 → Q_c / T_c + Q_f / T_f = 0 → Rendement : η_Carnot = -W / Q_c = 1 – T_f / T_c : rendement d’un cycle réversible. Moteur - Diesel, (12) et (34) : adiabatiques réversibles, (23) : isobare et (41) : isochore. On obtient de même : η_Diesel = (Q_(23) + Q_(41)) / Q_(23) = 1 + (C_v.(T_1 - T_4 )) / (C_p.(T_3 - T_2) ) = 1 – (1 / γ) (T_4 - T_1) / (T_3 - T_2). Réfrigérateur : Cycle → e = Q_f / W ≤ e Réfrigérateur Carnot = T_f / (T_c - T_f). Pompe à chaleur : Cycle → e = |Q_c| / W ≤ e Pompe à chaleur de Carnot = T_c / (T_c - T_f).



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